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数学建模辅导6-目标规划

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第七章

目标规划

7.1 目标规划模型 7.2 目标规划的几何意义与图解法 7.3 目标规划求解的单纯形方法

在科学研究、经济建设和生产实践中,人 们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题, 我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的 多目标规划叫目标规划(goal programming), 这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。 目标规划在实践中的应用十分广泛,它的重要 特点是对各个目标分级加权与逐级优化,这符 合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思 考方式。 本章分目标规划模型、目标规划的几何意 义与图解法和求解目标规划的单纯形方法等三 个部分进行介绍。

7.1 目标规划模型
(1) 问题提出

为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模 思路, 我们首先举一个简单的例子来说明.
例 1 某公司分厂用一条生产线生产两种产品 A和B ,每周生产线运行时间为60小时,生产一 台A产品需要4小时,生产一台B产品需要6小 时.根据市场预测,A、B产品*均销售量分别为 每周9、8台,它们销售利润分别为12、18万元。 在制定生产计划时,经理考虑下述4项目标:

首先,产量不能超过市场预测的销售量; 其次,工人加班时间最少; 第三,希望总利润最大; 最后,要尽可能满足市场需求, 当不能满足 时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍.

试建立这个问题的数学模型.
讨论: 若把总利润最大看作目标,而把产量不能超 过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽 可能满足市场需求的目标看作约束,则可建立一 个单目标线性规划模型 。

设决策变量 x1,x2 分别为产品A,B的产量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 ? 60 x1 ?9 x2 ? 8 x1 , x2 ? 0
?

容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所 在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有 多种. 在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它 只实现了经理的第一、二、三条目标,而没有达到 最后的一个目标。进一步分析可知,要实现全体目 标是不可能的。

?

(2) 目标规划模型的基本概念
把例1的4个目标表示为不等式.仍设决 策变量 x1,x2 分别为产品A,B的产量. 那么, 第一个目标为: x1 ? 9 ,x2 ? 8 ; 第二个目标为: 4x1 + 6x2 ? 60 ; 第三个目标为: 希望总利润最大,要表示成 不等式需要找到一个目标上界,这里可以估 计为252(=12?9 + 18?8),于是有 12x1 + 18x2 ? 252; 第四个目标为: x1 ? 9,x2 ? 8;

下面引入与建立目标规划数学模型有关的概 念. (1)正、负偏差变量d +,d 我们用正偏差变量d + 表示决策值超过目标 值的部分;负偏差变量d - 表示决策值不足目 标值的部分。因决策值不可能既超过目标值 同时又末达到目标值,故恒有 d + ?d - = 0. (2)绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两部分: 绝对约束和目标约束。

绝对约束
指必须严格满足的等式约束和不等式约束;如 在线性规划问题中考虑的约束条件,不能满足 这些约束条件的解称为非可行解,所以它们是 硬约束。设例1 中生产A,B产品所需原材料数 量有限制,并且无法从其它渠道予以补充,则 构成绝对约束。 目标约束

目标规划特有的,我们可以把约束右端项看作 要努力追求的目标值,但允许发生正式负偏差, 用在约束中加入正、负偏差变量来表示,于是 称它们是软约束。

对于例1, 我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 (1) (2) (3) (4) x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252

(3) 优先因子与权系数
对于多目标问题,设有L个目标函数f1,f2,?,fL, 决策 者在要求达到这些目标时,一般有主次之分。为此, 我们引入优先因子Pi ,i = 1,2,?,L.无妨设预期的目 标函数优先顺序为f1,f2,?,fL,我们把要求第一位达到 的目标赋于优先因子P1,次位的目标赋于优先因子 P2、…,并规定 Pi >> Pi+1,i = 1,2,?,L-1. 即在计算过程中, 首先保证P1级目标的实现,这时可 不考虑次级目标;而P2级目标是在实现P1级目标的 基础上考虑的,以此类推。当需要区别具有相同优 先因子的若干个目标的差别时,可分别赋于它们不 同的权系数wj 。优先因子及权系数的值,均由决策 者按具体情况来确定.

(4)目标规划的目标函效. 目标规划的目标函数是通过各目标约 束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等 级来构造的. 决策者的要求是尽可能从某个方向缩 小偏离目标的数值。于是,目标规划的目 标函数应该是求极小:

Min f = f (d +,d -)
其基本形式有三种:

① 要求恰好达到目标值,即使相应目 标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。 这时取 Min (d + + d - );

② 要求不超过目标值,即使相应目标 约束的正偏差变量要尽可能地小。 这时取 Min (d + );

③ 要求不低于目标值,即使相应目标 约束的负偏差变量要尽可能地小。 这时取 Min (d - );

对于例 1, 我们根据决策者的考虑知
第一优先级要求 Min(d1+ + d2+ );

第二优先级要求 Min(d3+ );
第三优先级要求 Min(d4- );

第四优先级要求 Min(d1- + 2d2- ),
这里, 当不能满足市场需求时, 市场认为B 产品的重要性是A产品的2倍.即减少B产 品的影响是A产品的2倍,因此我们引入了 2:1的权系数。

综合上述分析,可得到下列目标规划模型 Min f = P1(d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4(d1- + 2d2- )

s.t.

x1

+ d1- -d1+ = 9
x2 + d2- -d2+ = 8

4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ = 252 x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.

(3) 目标规划模型的一般形式
Min ? L ? ? ? ? ? ? M k ?? ωkl d l ? ωkl d l ? k ?1 ? l ?1 ?
K

?

?

s.t.

? n ? ? c lj x j ? d l ? d l ? g l , l ? 1,2,? ,L ?? ? j ?1 ? n ? ? ? a ij x j ? ?? , ? ?bi , i ? 1,2,? ,m ? j ?1 ? x j ? 0,j ? 1,2,? ,n ? ? ? ?d l ,d l ? 0,l ? 1,2,? ,L ?

式中的第二行是L个目标约束,第三行是m个绝对约束,clj 和gl 是目标参数。

?
?

例2
甲 金工 4 乙 2 有效工时 400

装配
收益
?

2
100

4
80

500

LP: Max Z=100X1 + 80X2 2X1+4X2 ? 500 s.t 4X1+2X2 ? 400 X1 , X2? 0 X* =(50,100) Z* =13000

目标:去年总收益9000,增长要求11.1%

即:今年希望总收益不低于10000
引入 d+:决策超过目标值部分(正偏差变量)

d-:决策不足目标值部分(负偏差变量)
目标约束: 100X1+80X2 -d++d- =10000

Min Z= d100X1+80X2 -d++d- =10000 4X1+ 2X2 ? 400 2X1+ 4X2 ? 500 X1 , X2 , d- , d+? 0 d+?d- =0

d+?d- =0

d+,d- ? 0

例3
?


原材料(公斤) 设备(小时) 利润(千元/件) 2 1 8


1 2 10

资源拥有量
11 10

1. 原材料价格上涨,超计划要高价购买,所以 要严格控制 2. 市场情况,产品Ⅰ销售量下降,产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量 3. 充分利用设备,不希望加班 4. 尽可能达到并超过利润计划指标56千元

建模:
1. 设定约束条件。(目标约束、绝对约束) 2. 规定目标约束优先级 3. 建立模型

设X1 ,X2为产品Ⅰ,产品Ⅱ产量。

或 Min Z1 = d1+ Min Z=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3(d3-) Min Z2 = d2- +d2+ Min Z3 = d3-

2X1+X2 ? 11 X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 X1 , X2 , di- , di+? 0 di- ? di+ =0

d1- : X1产量不足X2 部分 d1+ : X1产量超过X2 部分 d2- : 设备使用不足10 部分

8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 d2+ :设备使用超过10 部分
d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分

例4:

电视机厂装配25寸和21寸两种彩电,每台电视机

需装备时间1小时,每周装配线计划开动40小时,预计

每周25寸彩电销售24台,每台可获利80元,每周21寸
彩电销售30台,每台可获利40元。该厂目标: 1. 充分利用装配线,避免开工不足。 2. 允许装配线加班,但尽量不超过10小时。 3. 尽量满足市场需求。

解:设X1 , X2 分别表示25寸,21寸彩电产量
Min Z=p1d1-+p2d2++p3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50

X1

+d3- -d3+=24
X2 +d4- -d4+=30

X1 , X2 , di- , di+? 0 (i=1,2,3,4)

7.2 目标规划的几何意义及图解法
对只具有两个决策变量的目标规划的数学模 型,我们可以用图解法来分析求解.通过图解示 例,可以看到目标规划中优先因子,正、负偏差 变量及权系数等的几何意义。 下面用图解法来求解例1 我们先在*面直角坐标系的第一象限内,作 出与各约束条件对应的直线,然后在这些直线旁 分别标上 G-i ,i = 1,2,3,4。图中x,y分 别表示问题的x1和x2;各直线移动使之函数值变 大、变小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- .

x 20

G-1
+

15
10 -

+
+ G-2 + G-3 G-4 -

5

0

5

10

15
图1

20

y

下面我们根据目标函数的优先因子来 分析求解.首先考虑第一级具有P1优先因 子的目标的实现,在目标函数中要求实现 Min(d1++ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图2 中浅红 色阴影部分即表示出该最优解集合的所有 点。 我们在第一级目标的最优解集合中找 满足第二优先级要求Min(d3+ )的最优解. 取d3+= 0 ,可得到图3 中浅绿阴影部分即是 满足第一、第二优先级要求的最优解集合。

x 20

G-1
+

15
10 -

+
+ G-2 + G-3 G-4 -

5

0

5

10

15
图2

20

y

x 20

G-1
+

15
10 -

+
+ G-2 + G-3 G-4 -

5

0

5

10

15
图3

20

y

第三优先级要求 Min(d4-),根据图示可知, d4- 不可能取0值,我们取使d4- 最小的值72得 到图4中两阴影部分的交线(红色粗线),其表 示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解 集合。

最后,考虑第四优先级要求 Min(d1- + 2d2) ,即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1的权因子小于d2- ,因此在这里可以考虑取d2=0。于是解得d1-=5,最优解为A点x = 3,y = 8。

x 20

G-1
+

15
10 -

+

A(3,8) + G-2 + G-3 G-4 -

5

0

5

10

15
图4

20

y

7.3 目标规划的单纯形方法
目标规划的数学模型,特别是约束的结构 与线性规划模型没有本质的区别,只是它 的目标不止是一个,虽然其利用优先因子和 权系数把目标写成一个函数的形式, 但在计 算中无法按单目标处理, 所以可用单纯形法 进行适当改进后求解。在组织、构造算法 时,我们要考虑目标规划的数学模型一些 特点,作以下规定: (1) 因为目标规划问题的目标函数都是 求最小化,所以检验数的最优准则与线性 规划是相同的;

(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等 级的优先因子, Pi >> Pi+1,i = 1,2,?,L-1. 于是从每个检验数的整体来看: Pi+1(i = 1,2,?,L-1)优先级第k个检验数的正、负首 先决定于 P1 ,P2 ,… ,Pi 优先级第k个检验 数的正、负。若P1 级第k个检验数为0,则此 检验数的正、负取决于P2级第k个检验数;若 P2 级第k个检验数仍为0,则此检验数的正、 负取决于P3级第k个检验数,依次类推。换一 句话说,当某Pi 级第k个检验数为负数时,计 算中不必再考察Pj( j > I )级第k个检验数的 正、负情况;

(3)根据目标规划模型特征,当不含绝对 约束时,di- (i=1,2,… ,K)构成了一组基本可 行解。在寻找单纯形法初始可行点时,这个特 点是很有用的。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤 (1)建立初始单纯形表.在表中将检验数行按 优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需 根据初始可行解计算出来,方法同基本单纯形 法。当不含绝对约束时,di- (i=1,2,… ,K)构 成了一组基本可行解,这时只需利用相应单位 向量把各级目标行中对应di- (i=1,2,… ,K)的 量消成0即可得到初始单纯形表。置k = 1;

(2)检查当前第k行中是否存在小于0,且对应 的前k-1行的同列检验数为零的检验数。若有取 其中最小者对应的变量为换入变量,转(3)。若 无这样的检验数,则转(5);
(3)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变 量,当存在两个和两个以上相同的最小比值时, 选取具有较高优先级别的变量为换出变量,转 (4); (4)按单纯形法进行换基运算,建立新的单纯 形表,(注意:要对所有的行进行初等变换运算) 返回(2); (5)当k = K 时,计算结束。表中的解即为满 意解。否则置k = k+1,返回(2)。

例 1 试用单纯形法来求解例1的目标规划模型
Min f = P1(d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4(d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9

x2 + d2- -d2+ = 8
4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252 x1 , x2 , di- ,di+ ? 0 , i = 1,2,3,4.

解:
首先处理初始基本可行解对应的各级检验数。
Cj CB P4 2 P4 0 P3 XB d1 d2 d3 d4
-

0 b 9 8 60 252 P1 x1 1 0 4 12 0 0 -12 -1

0 x2 0 1 6 18 0 0 -18 -2

P1 d1
+

P4 d1 1 0 0 0 0 0 0 0
-

P1 d2 0 -1 0 0 1 0 0 2
+

2 P4 d2 0 1 0 0 0 0 0 0
-

P2 d3
+

0 d3 0 0 1 0 0 0 0 0
-

0 d4
+

P3 d4 0 0 0 1 0 0 0 0
-

-1 0 0 0 1 0 0 -1

0 0 -1 0 0 1 0 0

0 0 0 -1 0 0 1 0

σ

P2 P3 P4

(1)k = 1,在初始单纯形表中基变量为
(d1-,d2-,d3-,d4-)T =(9,8 , 60,252)T ;

(2)因为P1与P2优先级的检验数均已经为非负, 所以这个单纯形表对P1 与P2 优先级是最优单纯 形表; (3)下面考虑P3优先级,第二列的检验数为-18, 此为进基变量,计算相应的比值 bi/aij 写在 ? 列。 通过比较,得到d2- 对应的比值最小,于是取a22 (标为 * 号)为主元进行矩阵行变换得到新的 单纯形表;

(4)下面继续考虑P3优先级,第一列的检验数为 -12,此为进基变量,计算相应的比值 bi/aij ,得 到d3- 对应的比值最小,于是取a31(标为 * 号) 为转轴元进行矩阵行变换得到新的单纯形表;
Cj CB P4 0 0 P3 XB d1
-

0 b 9 8 12 108 P1 x1 1 0 4 12 0 0 -12 -1

0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0

P1 d1
+

P4 d1 1 0 0 0 0 0 0 0
-

P1 d2
+

2 P4 d2 0 1 -6 -18 0 0 18 2
-

P2 d3
+

0 d3 0 0 1 0 0 0 0 0
-

0 d4 0 0 0 -1 0 0 1 0
+

P3 d4 0 0 0 1 0 0 0 0
-

-1 0 0 0 1 0 0 1

0 -1 6 18 1 0 -18 0

0 0 -1 0 0 1 0 0

x2 d3 d4
-

σ

P2 P3 P4

Cj CB P4 0 0 P3 XB d1
-

0 b 6 8 3 72 P1 x1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0

P1 d1
+

P4 d1 1 0 0 0 0 0 0 0
-

P1 d2
+

2 P4 d2
-

P2 d3
+

0 d3
-

0 d4
+

P3 d4 0 0 0 1 0 0 0 0
-

-1 0 0 0 1 0 0 1

-3/2 -1 3/2 0 1 0 0 3/2

3/2 1 -3/2 0 1/2 0 0 0

1/4 0 -1/4 3 0 1 -3 -1/4

-1/4 0 1/4 -3 0 0 3 1/4

0 0 0 -1 0 0 1 0

x2 x1 d4
-

σ

P2 P3 P4

(5)当前的单纯形表各优先级的检验数均满足了上述 条件, 故为最优单纯形表。我们得到最优解x1=3, x2=8 。

例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电,每台 电视机需装备时间1小时,每周装配线计划开 动40小时,预计每周25寸彩电销售24台,每台 可获利80元,每周21寸彩电销售30台,每台可 获利40元。 该厂目标: 1、充分利用装配线,避免开工不足。 2、允许装配线加班,但尽量不超过10小时。

3、尽量满足市场需求。

解:设X1 , X2 分别表示25寸,21寸彩电产量 Min Z=p1d1-+p2d2++p3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40
X1 +X2+d2- -d2+=50

X1+d3- -d3+=24
X2 +d4- -d4+=30 X1 , X2 , di- , di+? 0 (i=1,2,3,4)

Cj CB p1 0 2 p3 p3 XB d1 d2 d3 d4
-

0 b 40 50 24 30 p1 x1 1 1 1 0 -1 0 -2

0 x2 1 1 0 1 -1 0 -1

0 d1
+

p1 d1 1 0 0 0 0 0 0
-

p2 d2
+

0 d2 0 1 0 0 0 0 0
-

0 d3
+

2p3 d3 0 0 1 0 0 0 0
-

0 d4 0 0 0 -1 0 0 1
+

p3 d4 0 0 0 1 0 0 0
-

-1 0 0 0 1 0 0

0 -1 0 0 0 1 0

0 0 -1 0 0 0 2

σ

p2 p3

Cj CB p1 0 0 p3 XB d1 d2
-

0 b 16 26 24 30 p1 x1 0 0 1 0 0 0 0

0 x2 1 1 0 1 -1 0 -1

0 d1
+

p1 d1 1 0 0 0 0 0 0
-

p2 d2
+

0 d2 0 1 0 0 0 0 0
-

0 d3 1 1 -1 0 -1 0 0
+

2p3 d3
-

0 d4
+

p3 d4 0 0 0 1 0 0 0
-

-1 0 0 0 1 0 0

0 -1 0 0 0 1 0

-1 -1 1 0 1 0 2

0 0 0 -1 0 0 1

x1 d4
-

σ

p2 p3

Cj CB 0 0 0 p3 XB x2 d2
-

0 b 16 10 24 14 p1 x1 0 0 1 0 0 0 0

0 x2 1 0 0 0 0 0 0

0 d1
+

p1 d1 1 -1 0 -1 1 0 1
-

p2 d2
+

0 d2 0 1 0 0 0 0 0
-

0 d3 1 0 -1 -1 0 0 1
+

2p3 d3
-

0 d4
+

p3 d4 0 0 0 1 0 0 0
-

-1 1 0 1 0 0 -1

0 -1 0 0 0 1 0

-1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 -1 0 0 1

x1 d4
-

σ

p2 p3

Cj CB 0 0 0 p3 XB x2 d1
+

0 b 26 10 24 4 p1 x1 0 0 1 0 0 0 0

0 x2 1 0 0 0 0 0 0

0 d1
+

p1 d1 0 -1 0 0 1 0 0
-

p2 d2
+

0 d2 1 1 0 -1 0 0 1
-

0 d3
+

2p3 d3
-

0 d4
+

p3 d4 0 0 0 1 0 0 0
-

0 1 0 0 0 0 0

-1 -1 0 1 0 1 -1

1 0 -1 -1 0 0 1

-1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 -1 0 0 1

x1 d4
-

σ

p2 p3

? 20040320 ?某厂根据合同要在三个
同类产品,该厂正常时 成本如下表:

月月末提供不同数量的 和单位生产

间和加班时间生产能力

最大产量(件)

月份 需求量(件)

单位生产成本 (元)
正常时 间 加班时 间

正常时 间

加班时 间

1
2 3

800
1200 2000

1600
1800 2000

600
800 500

100
120 125

110
130 140

又已知生产的产品若当 单位储存成本为 末无存货。

月不交货,则存入仓库

,每月的

2 元,仓库容量限制为

500 件, 月初和 3 月 1

?1 ? 问如何安排生产计划,
问题的数学模型,不必

使总费用最小? ( 要求建立运输 求解 ) 虑下列目标: 的生产尽量均衡; 存不能超过仓库容量; 最少。

?2 ?

若在安排生产计划时考 a 。第一级目标:三个月 b 。第二级目标:产品库 c 。第三级目标:总费用

试建立该问题的目标规

划模型。?不必求解

?

解:设 x 11 ? x 13 表示第 1 个月用于满足 设 x 21 ? x 23 表示第 1 个月用于满足 设 x 32 ? x 33 表示第 2 个月用于满足 设 x 42 ? x 43 表示第 2 个月用于满足 设 x 53 表示第 3 个月用于满足 设 x 63 表示第 3 个月用于满足 z ? 100x Min ? x 11 ? x 12 ? ? x 21 ? x 22 ? x 32 ? ? x 42 ? ? ? ? ?
11

1、 、 月需求的正常生产产量 2 3 1、 、 月需求的加班生产产量 2 3 2 、 月需求的正常生产产量 3 2 、 月需求的加班生产产量 3 ; .
22

; ; ; ;

3 月需求的正常生产产量 3 月需求的加班生产产量
12

? 102x
32

? 104x
33

13

? 110x
42

21

? 112x
43

? 114x
53

23 63

? 120x

? 122x

? 130x

? 102x

? 125x

? 140x

? x 13 ? 1600 ? x 23 ? 600 ? x 33 ? 1800 ? x 43 ? 800 x 53 ? 2000 x 63 ? 500

x 11 ? x 21 ? 800 x 12 ? x 22 ? x 32 ? x 42 ? 1200 x 13 ? x 23 ? x 33 ? x 43 ? x 53 ? x 63 ? 2000 x 12 ? x 13 ? x 22 ? x 23 ? 500 x 13 ? x 23 ? x 33 ? x 43 ? 500 x ij ? 0 ? i ? 1 ,? ,6 j ? 1 ,2 ,3 ?

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解: Min z ? P1 d 1 ? d 1 ? d 2 ? d 2 ? d 3 ? d 3 ? P 2 d 4 ? d 5 ? P 3 d 6 x 11 ? x 12 ? x 13 ? 1600 ? x 11 ? x 12 ? x 13 ? x 21 ? x 22 ? x 23 ? 600 ? ? x 32 ? x 33 ? 1800 x 32 ? x 42 ? x 43 ? 800 ? ? x 53 ? 2000 ? ? x 63 ? 500 ? x 12 ? x 11 ? x 21 ? 800 ? x 13 x 12 ? x 22 ? x 32 ? x 42 ? 1200 ? ? x 13 ? x 23 ? x 33 ? x 43 ? x 53 ? x 63 ? 2000 ? ? 100x 11 ? 102x 12 ? 104x 13 ? 110x 21 ? 112x 22 ? 114x 23 ? 120x 32 ? 122x 33 ? ? ? j ? 1 , 2 , 3 k ? 1 , ? ,6 ? ? x ij , d k , d k ? 0, d k ? d k ? 0 ? i ? 1 , ? ,6 ?

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